球盒模型

球不同盒不同

4个不同的球, 放入三个不同的盒子, 有多少种不同的方法?

1. 讨论盒子可空情况

每个球都有三个盒子可以选择, 所以总共的方法数量为$ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3 ^ 4$种

注意底数和指数的区分, 不要混淆

2. 每盒至少一球

球多盒少, 每盒至少一球是存在的情况. 我们用到分组分配的方法, 即先把球分成盒数的组数, 再排列分配即可. 显然这道题只能分成2, 1, 1的三组, 下面我们计算一下分组有多少种情况:

$$ \begin{gather} \frac {\text C_4^2 \cdot \text C_2^1 \cdot \text C_1^1} {\text A_2^2} \end{gather} $$

上面的分子很好理解, 就是先取2个, 再取两次1个, 每次总数减少. 但是由于我们有两组都是1, 属于一种均匀分组, 这时候我们为了避免重复, 需要给他一个分母, 内容是$\text A_r^r$, r为相同组的个数

分组之后我们再让这三组去对应三个盒子, 很简单的一个排列问题, 可以得到最终的结果为:

$$ \begin{gather} \frac {\text C_4^2 \cdot \text C_2^1 \cdot \text C_1^1} {\text A_2^2} \cdot \text A_3^3 \end{gather} $$

均匀分组需要考虑除的问题

这里分母是根据每批均匀分组来定的. 每一批都需要有一个$\text A_r^r$

例如六个不同球四个不同盒, 每盒至少一球, 则分组的情况有两类, 3, 1, 1, 1和2, 2, 1, 1, 我们把他们相加:

$$ \begin{gather} \frac {\text C_6^3 \cdot \text C_3^1 \cdot \text C_2^1 \cdot \text C_1^1} {\text A_3^3} + \frac {\text C_6^2 \cdot \text C_4^2 \cdot \text C_2^1 \cdot \text C_1^1} {\text A_2^2 \cdot \text A_2^2} \end{gather} $$

这就是全部分组的情况数量. 最后再乘分配到不同盒子的排列数$\text A_4^4$就可以了

球同盒不同

四个相同的球, 放入三个不同的盒子, 有多少种不同的方法?

与上题不同, 我们先讨论每盒至少一球

1. 每盒至少一球

四个相同的球, 摆放成一列, 他们中间会有三个空位置. 我们可以在三个空位置中选择两个插入木板, 即可将他们分成三个部分, 分给三个盒子即可.

注意: 因为盒子不可空, 所以我们插板的位置是球与球之间的空缺位置, 而不能是队列两侧的空缺位置

结果就很简单了, 因为球是相同的, 所以我们只需要插板, 然后从左到右编号为1号2号3号盒子就可以了, 所以答案就是

$$ \begin{gather} \text C_3^2 \end{gather} $$

2. 盒子可空

我们先妄图类比上一问. 即然可以空, 是不是就可以考虑在球队列的两侧插入木板了呢? 也就是5个空缺, 插两个板 $\text C_5^2$呢?

显然不是这样的, 因为这样无法做到相邻的两个盒子都是空的情况4, 0, 0, 所以计算出的结果会比实际答案少.

$$ \begin{gather} \therefore 插板法不适合盒子可空. 我们选择挡板法 \end{gather} $$

挡板法: 我们有四个球了, 需要三个盒子, 也就是两个板子. 4球+2板等于6个位置. 我们就给他6个位置, 选择两个位置放上木板就可以了, 答案即为:

$$ \begin{gather} \text C_{4+2} ^ 2 \end{gather} $$

1号盒子里四个球, 2号盒子里没有球, 3号盒子里没有球. 可以完成用插板法无法完成的4, 0, 0情况

球同盒同

这种情况类比第二种, 情况数量要更少.

1. 每盒至少一球

例如还是4个球3个盒子, 那么我们知道2, 1, 1和1, 2, 1实际上是同一种情况. 更过分一些, 其实可以看出他只需要把4个球分成3堆即可, 没有任何的顺序可言. 而4只能等于2 + 1 +1这一种情况, 所以情况数量就是:

$$ \begin{gather} 1 \end{gather} $$

2. 盒子可空

与不可空差不多, 都是把4拆成几个数字的和

$$ \begin{align} 4 &= 2 + 1 +1 \\ &= 3 + 1 + 0 \\ &= 2 + 2 + 0 \\ &= 4 + 0 + 0 \\ \end {align} $$

共有四种. 实际上是找非负整数解/自然数解

综上, 球同盒同就是找自然数解, 用列举方式解决问题.

球不同盒同

盒子相同, 没有顺序性. 球放入盒中就没有分配问题了, 只需要把球进行分组

1. 每盒至少一球

直接进行一个2, 1, 1的分组, 仍然需要考虑均匀的问题

$$ \begin{gather} \frac {\text C_4^2 \cdot \text C_2^1 \cdot \text C_1^1} {\text A_2^2} \end{gather} $$

不用再乘以$\text A_3^3$了

2. 盒子可空

除了2, 1, 1, 还有3, 1, 0 2, 2, 0 4, 0, 0这三种方式, 分别计算组合数即可, 仍然需要考虑均匀问题

$$ \begin{gather} \frac {\text C_4^2 \cdot \text C_2^1 \cdot \text C_1^1} {\text A_2^2} + \text C_4^3 \cdot \text C_1^1 + \frac {\text C_4^2 \cdot \text C_2^2} {\text A_2^2} + \text C_4^4 \end{gather} $$

本质上就是分组的种类数量, 不涉及排列问题

总结

球不同的时候, 需要考虑分组问题.

盒不同的时候, 需要考虑顺序性, 分配问题.