Introduction

概率统计课程作业中遇到的函数, 出现为 概率密度函数, 需要计算其积分.

他的一般形式:

$$ \begin{gather} \Gamma(x) = \int t ^ {x - 1} e ^ {-t} \text dt \ \ \ (x > 0) \end{gather} $$

对于 概率密度函数, 积分变量一般是 x, 我们给他换个变量表示:

$$ \begin{gather} \Gamma(a) = \int x ^ {a - 1} e ^ {-x} \text dx \ \ \ (a > 0) \end{gather} $$

可见, 左侧 Gamma函数的参数 a仅出现在 x的指数上, e的指数恒为 -x

求值性质

$$ \begin{gather} \Gamma(a) = (a - 1) ! \end{gather} $$

递归性质

$$ \Gamma(a + 1) = a\Gamma(a) $$